※この記事は数学に詳しくない一般人が描いたものです．間違っている気がするので話半分で読んでください．修正箇所はコメントにて指摘をお願いします．
※この記事は書き途中です．

1. 球面調和関数
2. この3次元極方程式を球面調和関数を用いて展開して…
- 2.1. そもそも3次元極座標って
- 2.2. 球面調和関数って

球面調和関数

なんか強そう．英語だと Spherical Harmonics．カッコイイ．しかし…

この3次元極方程式を球面調和関数を用いて展開して…

といわれたら
( ﾟДﾟ)ﾊｧ?
となることでしょう．
そこでWikipedia大先生を参考にしようとします．

球面調和関数（きゅうめんちょうわかんすう、英: spherical harmonics[1]）あるいは球関数（きゅうかんすう、英: spherical functions[2]）は以下のいずれかを意味する関数である：
n 次元ラプラス方程式の解となる斉次多項式を単位球面に制限する事で得られる関数。
次元 n が 3 の場合の 1 の意味での球面調和関数で、球面座標 $(r, θ, φ)$ で書いたラプラス方程式の変数分離解を記述するのに用いる事ができる関数 $Y_{n}^{k} (θ, φ)$ .
本項では 1 及び 2 双方の意味の球面調和関数について述べるが、特に断りがない限り、「球面調和関数」という言葉を 1 の意味で用いる。

( ﾟДﾟ)ﾊｧ?

そもそも3次元極座標って

極座標と言ったら，高校の時にやりましたね．xy座標の代わりに導入された半径rと角度 $\theta$ で表される座標系です．

関数も作れます．
たとえば $r(\theta) = 1$ とすれば， $\theta$ に何を入れても1が返ってくるので半径1の円になります．
$r(\theta) = 1 + sin(\theta)$ とすると，お尻のような形になります．このようなものを極方程式といいました．

これを3次元に拡張したのが3次元の極座標系です．

ファイル:Spherical with grid.svg – Wikipedia

$r(\theta, \phi) =1$ とすれば球面になることがわかります．(ちなみに $\theta$ は0～πしかとりません．緯度経度を思い出しましょう．)

球面調和関数って

これです．
$Y _ {l}^{m} (\theta, \phi) = (-1)^{(m+|m|)/2} \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \cdot \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} P _ {l}^{|m|} (cos(\theta))e^{im\phi}$

ここで $P _ {l}^{|m|}$ はルジャンドルの陪関数(というある関数)です．
l, mは整数で $l=0, 1, 2,...$ となり，
mは各lに対して， $m= -l, -l+1, -l+2, ..., l -1, l$ の2l+1個の値を取ります．これをいきなり見せられても分からないかもしれませんが，前のsectionを読んだ方ならば極方程式(極座標関数)になっていることがわかると思います．半径を $Y _ {l}^{m}$ として図としてみると以下のようになります．上からl=0, 1,…の時です．だんだん増えていっているのはmが2l+1個存在するからですね．

ファイル:Harmoniki.png – Wikipedia